Что (кто) такое Эйлеровы интегралы - определение
СПИСОК ОДНОИМЁННЫХ ОБЪЕКТОВ
Число Эйлера; Теорема Эйлера; Тождество Эйлера; Интеграл Эйлера; Эйлеровы интегралы; Эйлеров интеграл; Формулы Эйлера; Формула Эйлера для четырёхугольника; Список объектов, названных в честь Эйлера
Эйлеровы интегралы
интегралы вида
(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730-31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом) и
[Э. и. второго рода, или Гамма-функция, рассмотренная Л. Эйлером в 1729-30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название "Э. и." дано А. Лежандром. Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты 
и факториал n!, ибо, если а и b- натуральные числа, то
Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если а и b положительны, и перестают существовать, если а и b отрицательны. Имеют место соотношения
В (a, b) = B (b, a), 
;
последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов а и b. Э. и. встречаются во многих вопросах теории специальных функций (См. Специальные функции), к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также интеграл
выражающий т. н. гипергеометрическую функцию (См. Гипергеометрические функции).
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.- Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.
Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера, что породило шуточное фольклорное правило: «В математике принято называть открытие именем второго человека, который его сделал — иначе пришлось бы всё называть именем Эйлера».
Эллиптические интегралы
Эллиптические интегралы
интегралы вида
где R (x, у) - рациональная функция х и 
, а Р (х) - многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней.
Под Э. и. первого рода понимают интеграл
под Э. и. второго рода - интеграл
где k - модуль Э. и., 0 < k < 1 (х = sin φ, t = sin α. Интегралы в левых частях равенств (1) и (2) называются Э. и. в нормальной форме Якоби, интегралы в правых частях - Э. и. в нормальной форме Лежандра. При х = 1 или φ = π/2 Э. и называются полными и обозначаются, соответственно, через
и
Своё назв. Э. и. получили в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и = a sin α, v = b cos α(a < b). Длина дуги эллипса выражается формулой
где 
- эксцентриситет эллипса. Длина дуги четверти эллипса равна E (k). Функции, обратные Э. и., называются эллиптическими функциями (См. Эллиптические функции).
Википедия
Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера, что породило шуточное фольклорное правило: «В математике принято называть открытие именем второго человека, который его сделал — иначе пришлось бы всё называть именем Эйлера».
